まず育児休業ですが、「雇用継続型」であったとのことで、ご認識のとおり、1）には該当しません。
2）と3）にも該当しないようでしたら、育児休業を取得することができます。
育児休業は原則1歳未満のこどもを養育するための休業であるため、帰任以降、子が1歳になるまでは分割して2回育児休業取得可能です。

次に雇用保険の育児休業給付の受給資格ですが、要件は以下となっております。
・育児休業を開始した日の前2年間に、賃金支払基礎日数が11日以上ある完全月が12か月以上あること（11日以上の月が12か月ない場合、完全月で賃金支払基礎となった時間数が80時間以上の月を1か月として取り扱う）
・上記要件を満たさない場合、産前休業開始日等を起点として、その日の前2年間に賃金支払基礎日数が11日以上ある月が12か月以上あること

当該社員は3年間の交流採用により貴社から給与支払がありませんでしたが、受給要件の緩和という措置があり、当該社員の場合は休業開始前4年間の中で、要件を満たすか見ていくこととなります。

「当該2年の間に、疾病、負傷等やむを得ない理由により引き続き30日以上賃金の支払を受けることができなかった期間がある場合には、当該理由により賃金の支払いを受けることができなかった期間を2年に加算することができる。また、この加算できる期間は最長2年間であり、合計で最長4年間まで受給要件を緩和することができる。」（雇用保険業務取扱要領　59523（3）育児休業給付の受給資格の確認　ハ）

帰任時に「雇用継続交流採用終了届」を管轄のハローワークに提出されたかと存じます。育児休業給付の受給資格確認の際、「雇用継続交流採用終了届」に添付した書類を再度求められることがあります。手続き時にハローワークにご確認下さい。

参考記事「官民人事交流制度における手続き上の注意点とは？」
https://media.o-sr.co.jp/question/question-30953/