二以上事業所勤務届を提出された方の保険料が変わった場合はご質問の通り、再度保険料のお知らせが届くことになります。基本的な事ですが決定された保険料額はご本人と会社で折半することになりますので決定通知書に記載の保険料全額を控除しないように注意してください。子ども・子育て拠出金は全額事業主負担であることも併せてご確認ください。

また、保険料が変わるのはどういう時か、というお話ですが色々な理由が存在します。
①随時改定に該当した場合
②定時決定にて従前の標準報酬月額との等級差が生じた場合
③年齢による介護保険料の控除開始や終了、厚生年金・健康保険料の控除終了(それぞれの保険の資格喪失)
④協会や組合の都道府県料率が変更された場合
大半の理由は上記4点のいずれかではないかと思われます。

③や④についてはご本人の給与等に関わらず変更が生じるものですので説明は省略します。
①についてですが二以上事業所勤務の方も通常の方と同様、要件に該当すれば随時改定の手続きをする必要があります。
※御社のみの給与で随時改定に該当するか、という視点で確認をする必要があります。
この場合の「従前の標準報酬月額」については標準報酬決定通知書(質問文にある保険料のお知らせの書類)に記載の「貴事業所報酬月額」の金額から標準報酬月額を算出する必要があります。二以上事業所勤務届を出す前のその方の標準報酬月額と違う場合がありますので注意が必要です。また、随時改定の届出を提出する際に備考欄に二以上勤務、という項目がありますのでそちらを選択した上で届出を提出します。
②の定時決定につきましても同様です。

①と②については御社ではない別の事業所から提出された際も保険料の変更が発生します。その場合、保険料のお知らせがいつ届くかは事前に御社側では分からず別の事業所が手続きが遅れていた場合、遡って保険料の調整が発生する場合もございます。同様に御社側でも手続きが滞れば別の事業所側で調整が発生することもございます。二以上事業所勤務届を出している人だから、というわけではございませんがその従業員の方や別の事業所の為にも御社側で手続が発生した場合には速やかに対応をされるのがよろしいかと存じます。