契約更新時にも、同日得喪の手続きが行える可能性がございます。
更新時に労働条件の見直し等で給与額が下がる事もあるかと思います。
その場合には、60歳以上の方であれば、随時改定を待たずに、更新のタイミングで一旦雇用関係が終了したものとして扱い、更新月（新しい契約期間の開始月）から、その時の給与に応じた標準報酬月額に変更ができます。
事業所での定年の定めの有無は問われませんので、60歳以後に契約更新等で、1日も間を空けることなく継続して再雇用された場合であれば、その都度対象になります。

契約更新の場合の同日得喪時の必要書類は、資格喪失届、資格取得届のほかに、新旧の雇用契約書の写しを添付することで、喪失と取得の整合性がとれ、手続きが行えます。
また、被扶養者がいる場合は、被扶養者異動届も必要です。
被扶養者も改めて収入要件等を確認し、扶養追加できるかどうか、審査されることになります。
加入している健康保険組合や管轄の年金事務所によって添付書類が異なる場合がございますので、詳細は別途ご確認ください。

健康保険料と厚生年金保険料は、健康保険の給付（傷病手当金）や将来の年金額にも影響があるため、保険料が高いことが必ずしもデメリットとは言い切れません。
任意の手続きとなりますので、ご本人に説明し、同日得喪を行うのか随時改定で良いのか、検討されると良いかと思います。