１、コピーでの提出は認められていません。データでの提出は現在一定条件下では可能ですが、書面で来た保険料控除証明書を写真にとって提出する、では条件を満たさず認められません。原本の提出を依頼しましょう。

国税庁FAQより
「保険会社等から保険料控除証明書等が書面で送られてきたのですが、これをスキャナーで読み込む等によりデータ化したものを勤務先に原本として提供することはできますか。」
書面の控除証明書等をスキャンする等によりデータ化したものは勤務先に電子データ（原本）として提供することはできません。
控除証明書等データの勤務先への提供とは、法令上、①証明書に記載すべき事項が記録された情報で、②発行者の電子署名及びその電子署名に係る電子証明書が付されたものを電子データにより提供することです。
ご質問のケースは、このうち②の要件を満たさないため、勤務先に電子データとして提供することはできません。従来どおり、保険会社等から交付を受けた書面の控除証明書等を提出又は提示する必要があります。

２、会社に控除証明書等の原本保管の義務はありません。「提示」でよいとされていますので、会社で原本確認をしたあとでご本人に返却すること自体は可能です。

年末調整でWEB申請可能なクラウドサービスを取り入れて対応されている会社も多いと思いますが、現時点では引き続き控除証明書等の原本確認は必要ですのでご留意ください。