お答えします。

制度導入にあたり就業規則その他これに準ずるものにおいて始業及び終業の時刻をその労働者の決定にゆだねる旨の定め、下記の事項を労使協定で定めることが必要となりますが、
所轄の労働基準監督署に届けを出す法的な決まりはございません。

フレックスタイム制については労基法第三二条の三に規定があり、
労働組合、または労使協定により
・フレックスタイム制を適用する労働者の範囲
・清算期間　（1か月を限度とし、清算期間の起算日を明確にします。※Ｈ２９年２月現在、限度期間について、３カ月に延長する改正案が国会で審議中、今後の動きにご注意ください）
・清算期間における総労働時間　（清算期間内の所定労働時間、清算期間を平均し1週間の労働時間が40時間以内になるよう定める必要があります。）
を定める必要があります。
また、1日の内で必ず働かなければならない時間帯（＝コアタイム）を設ける場合には開始および終了の時間を明記しなければならず、労働者がその選択により労働することが出来る時間帯に制限を設ける場合その時間帯の開始及び終了の時刻を定める必要があります。

ご質問分によりますと、就業規則のみに制度についての記載があるようですので早急に労使協定の作成、締結の必要があります。