結論を申しますと、ビザ（在留資格）の更新手続きは、原則として、当該本人が行うものになります。

その他には、代理人（本人（申請人）の法定代理人）や取次者（地方入国管理局長届け出た弁護士または行政書士で本人（申請人）から依頼を受けた者）などといった者も申請できますが、原則的には本人に行ってもらうこととなっています。
しかし、万が一更新できていないと、会社の方が「“不法就労者”を雇用している」、といった目で見られかねませんので、その更新についての支援を行うことが得策です。

具体的には、更新のため、関連行政機関窓口に出向く機会を与えたり（つまり、就業時間内に出向くことを認めたり）、対象者（例．経営者層や管理職層）によってはその費用を会社負担とする、などとし、必ず更新してもらうように支援することが考えられます。
なお、更新後は必ず本人に確認をとり、念のためその内容を確認されますこと（例．証明書類のコピーをもらうこと）をおすすめします。