(質問文の「子の看護休暇」は正しくは「子の看護等休暇」ですが、そのまま記載しています)

結論から申し上げますと、そのまま引き継ぐのではなく「残っている時間数」について再計算(換算)が必要になります。
子の看護等休暇の対象となるお子様の人数が不明ですが、仮に1人で法定通りの年5日の付与をされているとして考えますと現在の契約（1日5時間）における残数は1日と2時間を既に使用されている為3日と3時間、という事になります。フルタイムに切り替わった後の残数ですが、日についてはそのまま3日を引き継ぎますが、時間については所定労働時間の比率によって変更となります。残時間×(変更後の所定労働時間÷変更前の所定労働時間)で算出します。今回のケースですと3時間×(8時間÷5時間)＝4.8時間となります。またこの端数につきましては切り上げの処理となりますので、最終的には5時間となりますのでフルタイムに切り替わった際の残日数と時間は3日と5時間、という事になります。
なおご質問にはございませんでしたが、介護休暇、有給休暇についても時間単位での取得が発生している場合は同様の計算式にて残数をそれぞれ再計算される必要がございます。

子の看護等休暇につきましては2025年の法改正により、対象年齢が小学校3年生修了までに拡大されている等変更点が多くございます。これまでより多くの方が子の看護等休暇を取得できるようになっているという点を鑑み、今一度制度の趣旨を把握されると共に適切に従業員の皆様にご案内される事をお勧めいたします。