まずご認識の通り、労災保険は従業員の業務災害及び通勤災害について給付を行うものですので、会社役員は対象外となります。
（役職上は役員であっても、代表権や業務執行権を有さず、実態として労働者とみなされる場合は労災保険の利用が可能です。）
では健康保険はどうかと言いますと、こちらは業務災害以外の場合について給付を行うものとされています。
そのため役員の業務上の傷病については、健康保険を利用することはできず、治療に要する費用は全額自費となります。

例外として、以下の要件に該当する場合は、役員の業務上の傷病について健康保険の利用が可能です。
・被保険者数5人未満の適用事業所に使用される法人の役員であること
・一般の従業員と同一の業務に従事していること

役員の業務上の傷病に対する備えとして、労災保険特別加入や民間の保険等の利用も検討されることをお勧めいたします。
ただし労災保険特別加入は、加入前に発生した傷病や事業主の立場で行われる業務に就業中の傷病等に対しては対象外となりますのでご注意ください。