まず、お父様の保険の加入状況を確認する必要があります。

健康保険加入または国民健康保険どちらでしょうか？

お父様が健康保険に加入ということであれば他のご家族に扶養されている
可能性があります。

お父様が国民健康保険に加入の場合は、ご依頼のあった従業員様と同居の連絡がありましたので
健康保険扶養認定の要件を満たしている場合は扶養認定される可能性が高いです。

健康保険扶養認定条件
認定対象者が被保険者と同一世帯に属している場合は
60歳以上または、障害厚生年金を受けられる障碍者の場合は
180万円未満で、かつ被保険者の年収の２分の１未満であること
が条件となります。

扶養認定日ですが、
お父様が国民健康保険に加入中ということであれば
健康保険組合または全国健康保険協会の書類受理日での可能性が高いです。
これは、お母さまの死亡が従業員様との同居の理由になり、健康保険扶養追加の理由ですが
お母さまの死亡日や同居の時点で国民健康保険に加入していらっしゃるので
扶養追加認定の根拠がないこととなります。
そのため、健康保険被扶養者（異動）届の受理日が扶養認定日とされる可能性が高いです。

扶養認定日が遅くならないように、健康保険被扶養者（異動）届を必要添付資料と一緒に速やか
に届出をされることが大切となります。