労働安全衛生法第66条第2項・第3項、安衛令第22条に基づき、一般的な健康管理(定期健康診断)については派遣元、実際の就業に伴う健康管理(特殊健康診断)は派遣先が行わなければなりません。
今回の場合は派遣先に直接雇用されるケースですので、貴社に入社後は定期健康診断も特殊健康診断も貴社で行う必要があります。
また入社時健康診断は、3か月以内に法定項目を満たした健康診断を受けたことを証明する書面を貴社に提出いただくことで省略することが可能ですが、派遣元で定期健康診断しか受けていない場合は、貴社で入社時健康診断も必須となります。