人材開発支援助成金(特定訓練コース)を含む雇用関係助成金は、企業等が拠出する雇用保険料を財源として、失業の予防、雇用機会の増大、労働者の能力開発等のための雇用対策に資するよう、企業等に対して給付されるものであるため、助成金を受給できる事業主は、原則として雇用保険適用事業所の事業主です。

ご質問のケースの場合、対象となる社員は出向元で雇用保険に加入しているとのことですので、出向元で申請を行っていただく必要がございます。（出向先での申請は出来ません）

人材開発支援助成金(特定訓練コース)には7種類の助成メニューがあり、どの訓練をお考えなのか不明ですので一概には申し上げられませんが、基本的には申請事業主が経費の全額を負担することが助成金の受給要件となっております。
研修費用を出向先が負担した場合、助成金の支給対象にはなりませんのでご注意ください。

ご参考になれば幸いです。