お答えいたします。
１． 質問者様の認識とおり、労働安全衛生規則第４３条にて、「医師による健康診断を受けた後、３ヶ月を経過しない者を雇い入れる場合において、その者が当該健康診断の結果を証明する書面を提出したときは、当該健康診断の項目に相当する項目については、この限りでない」との記載があり、3ヶ月以内に健康診断を受けている記録（健診結果の写し等）の提出があれば、改めて会社として実施をする必要はございません。
また、上記期間内に受診歴がない場合には、会社として健康診断を実施する、もしくはご本人に受診してきてもらいその費用を会社で負担する、といった対応で問題ありません。

２． 雇い入れ時の健康診断の対象者につきましては、「常時使用する労働者」とされており、この常時使用する労働者には、正社員だけではなく有期契約の社員さん、パートさんやアルバイトさんであっても、以下①②の要件のいずれにも該当する場合には対象者となります。

①契約期間について：契約期間が1年以上である者、契約期間が1年未満であっても契約の更新により1年以上使用されることが予定されている者、既に1年以上引き続き使用されている者、のいづれかに該当する者
②労働時間数について：1週間の労働時間数がその事業場の通常の労働者の1週間の所定労働時間数の4分の3以上である者