今回のケースは指示がない中で個人判断での就労ということですので、そこまで会社が配慮する必要性はありません。
通常の有給休暇の取得と同様の処理で問題ないでしょう。
むしろ、在宅での業務が認められていないのであれば、勝手に行った社員の方への注意が必要となります。（特に個人情報等の関係で問題になる場合は）

勤怠システムについてはログを削除できるのであればよいですが、消すことができないのであればコメント欄に事情・本人への確認経緯などを残しておかれるなどしたほうが、後々見た際に状況がわかりやすいかと存じます。

なお、もしも慣例的にこのような状態を過去も業務として認めていた、指示ではなかったがやらざるを負えない状況であった、ということであれば、その日は休暇という扱いにならず通常の労働日となります。その場合、時間単位有休の制度がない場合は1時間以外の部分は「就労していない状態」になってしまいますが、不利益がないように通常の賃金を支払うなど配慮を要するでしょう。