まず、傷病手当金と育児時短就業給付金は併給可能でございます。
傷病手当金、育児時短就業給付金をそれぞれ受給していることによる、もう一方に対する影響はございません。

ただし、傷病手当金については通常通り受給可能ですが、育児時短就業給付金は違います。
育児時短就業給付金は原則、「支給対象月に支払われた賃金額×支給率」が支給額とされています。
ゆえに傷病休職により賃金が支給されない場合、実質的に支給額が発生しないこととなります。
申請自体は可能ですが、支給金額は不支給とした決定通知書が発行されます。
その後子が2歳に達するまでに傷病休職が終了し、育児時短勤務を再開し賃金が支給されたならば、そのときから受給額が発生することとなります。
休職中や復職後の申請方法は通常と同じです。

なお、傷病休職でなく他の子に係る産育休や介護休業を開始することになった場合は育児時短就業給付金の手続が若干異なります。
この場合は、申請書の育児時短就業終了理由で「3：他の休業開始」を選択し、休業開始日の前日を育児時短就業終了年月日として申請する必要があります。
これは育児時短就業給付金が継続したままだと、他の休業に係る雇用保険給付金が調整等される可能性があり、場合によっては訂正理由書等の提出が必要になることもあるため、一旦時短就業が終了した形にして受給手続をスムーズに行うための対応となります。
同一の子について2歳に達するまでに復職して育児時短勤務を再開した場合、再開日が確認できる書類と週所定時間が確認できる書類をつけて申請することで、再び育児時短就業給付金を受給できます。