受給資格、要件を満たしていれば、給付金を受給できます。
受給資格は以下の通りです。

①被保険者資格を喪失して1年以内の間に再雇用されていること
②①の期間中に基本手当を受給していないこと

①と②の条件を確認していただき、条件を満たしているということであれば貴社でも高年齢雇用継続基本給付金の受給が可能となります。
上記の給付金を受給可能ということであれば、雇用保険の資格取得お手続きを行った際、雇用保険被保険者資格取得等確認通知書（事業主通知用）に【高年齢雇用継続給付受給可】と印字されます。
お手続きを行う場合はそちらも念のため確認したうえでお手続きしていただくとよいかと存じます。

また、受給資格を満たしているということであれば、お手続きは通常行うものと変わりはございません。
貴社の申請月に合わせて貴社で支払った賃金を記載して申請していただければと存じます。

なお、高年齢継続給付は【支給対象月中に支払われた賃金が60歳到達時等の賃金月額の75％以上】の場合は、不支給となります。
前職と貴社では支払う賃金も違うかと存じますので、その旨を念のため事前にご本人様にご説明するとよいかと存じます。