年度の途中で65歳になった方の場合、しばらくは個人で介護保険料を納付することとなります。（普通徴収）

以下に当てはまる場合、年金から介護保険料が特別徴収されます。
・4/1時点において、65歳以上であること（第1号被保険者）
・年金の受給額が年額18万円以上であること

ここで言う年金とは、老齢もしくは退職、障害または死亡を支給事由とする年金です。
老齢もしくは退職を事由とする年金とは、老齢基礎年金もしくは旧法制度による老齢年金・退職年金を指し、老齢厚生年金は特別徴収の対象外です。

年度途中で65歳になった、あるいは他の市区町村から転入してきたときなどは普通徴収となります。

年金保険者（日本年金機構）より年金受給者の情報が各市区町村に送られ、市区町村は特別徴収とするための対応を行います。市区町村における作業を経て年金保険者に通知され、介護保険料の特別徴収が開始される、という流れとなります。個人で行う手続きはありません。
機構からの連絡や市区町村の作業にかなり時間を要するようで、半年から1年ほどかかると言われています。

また、今回のご質問は介護保険料でしたが、年金から特別徴収されるものは他に、国民健康保険料（税）、後期高齢者医療保険料、住民税があります。