以下それぞれ回答させていただきます。

・看護休暇は取得することができるのでしょうか？また、弊社は看護休暇は無給ですが時間単位で看護休暇を取得した場合でも無給でいいのでしょうか？

管理監督者であっても休暇については適用除外されておりません。したがって貴社の規程通りの休暇制度の適用となりますので、時間単位であっても無給の制度であればその分は給与控除して問題ございません。

・短時間勤務制度の対象になるのでしょうか？

平成 22 年 2 月 26 日版「改正育児・介護休業法に関するＱ＆Ａ」において以下が示されています。
Q管理職は、所定労働時間の短縮措置の対象となりますか？
Ａ 管理職のうち、労働基準法第 41 条第 2 号に定める管理監督者については、
労働時間等に関する規定が適用除外されていることから、所定労働時間の短縮措置を講じなくても構いません。

上記の通りではありますが、適用の対象とすること自体は問題ありません。
また、その際の給与をどうするかも貴社制度次第となります。
基本的には何時間勤務していようと管理監督者という職務を担っているのであれば管理監督者となるため、「勤務時間が減るので給与を減額する」のではなく職務の量に応じての給与調整を行う制度でご検討ください。